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퓨리에 변환(Fourier Transform, 푸리에 변환)

푸리에 변환이 맞는 말이라고 한다.
하지만 인터넷을 검색하면 퓨리에 변환 이 더 많은 검색결과를 내준다.

참조 : 여기 문서가 아주 좋다

참조 : 여기 문서도 아주 좋다

참조 : 여기도 아주 좋다

참조

뭐에 쓰는 물건인가?

남자, 여자가 동시에 떠들어 대면 소리가 섞이게 된다.
이런 경우 남자의 소리만 추출하고 싶다면 어떻게 할 수 있을까?

전파의 경우도 원본전파, 잡신호(white noise), 뒤늦게 도착한 원본전파가 섞여 있는 상태이다.
이 때 원본 전파만 얻으려면 어떻게 할 것인가?

이런 섞여 있는 상태의 파동(소리 또는 전파)를 분리해 내는 기능을 하는 것이 퓨리에 변환이다.

푸리에 변환 전계

파동은 sin, cos 으로 나타낼 수 있다.
모든 파동은 sin, cos의 합으로 이루어져 있으며 역으로 파동을 sin, cos으로 나타낼 수 있다
(푸리에 급수).
푸리에 급수에서 계수와 주파수를 구한다.
이 계수와 주파수가 푸리에 변환이다.

구현

일단 sox 를 이용해 wav 파일을 생성한다.

사람의 가청주파수 때문에 들을 수 있는 주파수는 300Hz, 10000Hz 뿐이다.

sox --null -r 22050 sine_20.wav synth 3 sine 20 #20Hz
aplay sine_20.wav

sox --null -r 22050 sine_300.wav synth 3 sine 300 #300Hz
aplay sine_300.wav

sox --null -r 22050 sine_10000.wav synth 3 sine 10000 #10,000Hz
aplay sine_10000.wav

sox --null -r 22050 sine_30000.wav synth 3 sine 30000 #30,000Hz
aplay sine_30000.wav

sox --combine mix --volume 0.5 sine_300.wav --volume 0.5 sine_10000.wav sine_mix.wav
aplay sine_mix.wav

#!/usr/bin/python3

import os
import glob

import scipy
import scipy.io.wavfile
from scipy import fftpack
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def plot_wav_fft(wav_filename, desc=None, trans=False):
    plt.clf()
    plt.figure(num=None, figsize=(6, 4))
    sample_rate, X = scipy.io.wavfile.read(wav_filename)
    spectrum = fftpack.fft(X)
    freq = fftpack.fftfreq(len(X), d=1.0 / sample_rate)

    plt.subplot(211)
    num_samples = 300.0
    plt.xlim(0, num_samples / sample_rate)
    plt.xlabel("time [s]")
    plt.title(desc or wav_filename)
    plt.plot(np.arange(num_samples) / sample_rate, X[:int(num_samples)])
    plt.grid(True)

    if trans:
        plt.subplot(212)
        plt.xlim(0, 5000)
        plt.xlabel("frequency [Hz]")
        plt.xticks(np.arange(5) * 4000)
        if desc:
            desc = desc.strip()
            fft_desc = desc[0].lower() + desc[1:]
        else:
            fft_desc = wav_filename
        plt.title("FFT of %s" % fft_desc)
        plt.plot(freq, abs(spectrum), linewidth=2)
        plt.grid(True)
        plt.tight_layout()

    rel_filename = os.path.split(wav_filename)[1]
    plt.savefig("%s_wav_fft.png" % os.path.splitext(rel_filename)[0],
                bbox_inches='tight')

    plt.show()

def plot_wav_fft_demo():
    plot_wav_fft("sine_300.wav")
    plot_wav_fft("sine_10000.wav")
    plot_wav_fft("sine_mix.wav")
    plot_wav_fft("sine_mix.wav", "sine_mix", True)

plot_wav_fft_demo()

위 파일을 실행시키면 아래와 같이 주파수 그래프가 그려진다.

300Hz

10000Hz

300Hz + 10000Hz

마지막으로 요상한 그래프가 나왔다.

이것이 퓨리에 변환이다.

위 두 그래프중 아래 그래프의 X축을 가만히 보면,
300Hz, 10000Hz 처럼 보이지 않는가?

좀 더 확실히 하기 위해,
200Hz 와 300Hz 파일을 생성하고,
볼륨도 0.3, 0.7 로 다르게 입력하고 다시 동일하게 실행시켜 보자.

sox --null -r 22050 sine_200.wav synth 3 sine 200
sox --null -r 22050 sine_300.wav synth 3 sine 300
sox --combine mix --volume 0.3 sine_200.wav --volume 0.7 sine_300.wav sine_mix_200_300.wav

# ......................
    if trans:
        plt.subplot(212)
        plt.xlim(0, 20)
        plt.xlabel("frequency [Hz]")
        plt.xticks(np.arange(5) * 100)
# ......................

def plot_wav_fft_demo():
    # plot_wav_fft("sine_200.wav")
    # plot_wav_fft("sine_300.wav")
    # plot_wav_fft("sine_mix_200_300.wav")
    plot_wav_fft("sine_mix_200_300.wav", "sine_mix", True)

plot_wav_fft_demo()

푸리에 급수(Fourier series)

푸리에의 발견 : 동일한 형태를 반복하는파동은,
아무리 복잡한 것이라도 단순한 파동의 조합이다.

위에서 보았듯이 200Hz + 300Hz 의 주파수가 복잡해 보이지만,
결국 단순한 파동 두가지가 섞여서 나오는 것과 같다.

이것을 수식화 해보자.

(복잡한 파동) = (단순한 파동 1)  +  (단순한 파동 2)  +  (단순한 파동 3)  +  ...

이를 수식화하면 아래와 같은 공식이 나온다.